שיעור 14: כלל נסיגה של סדרה חשבונית

פרק 4 – סדרות: כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 3, a_{n + 1} = a_n + 4.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: a_n = 4n − 1.

הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

לפי הנתון a₁ = 3. לפי הנוסחה:

4 · 1 − 1 = 3 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

a_k = 4k − 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

a_k = 4k − 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

a_{k + 1} = 4(k + 1) − 1 = 4k + 3

לפי כלל הנסיגה, כל איבר שווה לקודמו ועוד 4:

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = a_k + 4

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = a_k + 4

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 4k − 1

הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 4k − 1 + 4

= 4k + 3 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 4k − 1

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא